Wende diese mathematischen Abkürzungen an, um Deinen Gesprächspartner mit herausragenden rechnerischen Fähigkeiten zu beeindrucken
Der beste Weg, sich auf den quantitativen Teil von Case-Interviews vorzubereiten, besteht darin, Arten von Berechnungen zu üben, die Du mit Zahlen durchführen musst und für tatsächliche Cases repräsentativ sind. Außerdem solltest Du Dich mit den Arten von Problemen vertraut machen, auf die Du höchstwahrscheinlich stoßen wirst und lernen, wie Du sie lösen kannst. Es sei daran erinnert, dass die Bewerber in den Case-Interviews keine Taschenrechner oder Tabellenkalkulationen verwenden dürfen, sondern mit Stift und Papier arbeiten. Alle Case-Berechnungen berücksichtigen dies, sodass Case-Nummern und Case-Berechnungen in der Regel bestimmte Merkmale aufweisen, die Du zur Vereinfachung der Berechnungen nutzen kannst (wenn Du mit bestimmten Berechnungsmethoden vertraut bist).
Case-Zahlen sind in der Regel runde Zahlen mit nur wenigen signifikanten Ziffern, z. B. 300.000 oder 4.000.000. Manche Menschen sind zwar eingeschüchtert, wenn sie ohne Taschenrechner mit so großen Zahlen rechnen müssen, aber wenn man erst einmal gelernt hat, wie man die Nullen effizient verwaltet, werden Berechnungen mit solchen Zahlen ganz einfach.
Wenn Case-Zahlen mehr als eine signifikante Stelle haben, weisen sie in der Regel zusätzliche Eigenschaften auf, die bestimmte Berechnungen wie Multiplikation und Division erheblich vereinfachen können, wenn Du die entsprechenden Methoden kennst. Angenommen, Du erfährst, dass ein Unternehmen ein Produkt für 32 Dollar pro Stück verkauft sowie 25.000 Stück pro Jahr abnimmt und Du sollst den Umsatz berechnen. Du müsstest dann die folgende Berechnung durchführen: ($32 × 25.000). Die meisten Menschen würden für diese Berechnung Stift und Papier verwenden. Du kannst die Berechnung mit Stift und Papier effizienter gestalten, indem Du die drei Nullen von "25.000" nicht ausschreibst und sie am Ende des Ergebnisses von (32 × 25) hinzufügst.
Diese Zahlen sind repräsentativ für tatsächliche Case-Zahlen, und hier ist eine effiziente Methode für diese Berechnung (32 × 25). Zerlege zunächst 25 als: (25 = ¼ × 100). Dann führen wir die Berechnung mit dieser Zerlegung von 25 durch.
32 × ¼ = 32 ÷ 4 = 8
8 × 100 = 800
Daher (32 × 25 = 800) - Du kannst dies mit einem Taschenrechner oder mit Stift und Papier überprüfen und dir diese neue Berechnungsmethode folgendermaßen vorstellen: Angenommen, Du bekommst 32 Quarter (US-Münzen); wie viel Geld hättest Du dann? Du denkst Dir vielleicht: "Nun, 4 Vierteldollar sind 1 Dollar, und 32 ÷ 4 = 8, also hätte ich 8 Dollar", was richtig ist. Überlege nun, wie viele Cents in 8 Dollar stecken. Die Antwort ist eindeutig 800: (8 × 100 = 800), denn 1 Dollar besteht aus 100 Cents. 32 Vierteldollar ergeben also 8 Dollar, was 800 Cent entspricht. Nun ist ein Vierteldollar auch 25 Cent wert, und da wir 32 Vierteldollar haben, ist 32 × 25 = 800. Um also eine beliebige Zahl mit 25 zu multiplizieren, teilst Du die Zahl durch 4 und multiplizierst sie dann mit 100. Diese Methode funktioniert, weil (4 × 25 = 100); wenn Du also 32 durch 4 teilst, ist das Ergebnis die "Anzahl der Gruppen von 100". Die Antwort auf unser ursprüngliches Problem ($32 × 25.000) ist dann $800.000.
Die Anwendung dieser Methode beruht auf der Tatsache, dass 25 = ¼ × 100 ist. Diese Zahlen sind repräsentativ für tatsächliche Case-Zahlen. Die meisten tatsächlichen Multiplikationsberechnungen in Case-Interviews beinhalten Zahlen wie 25.000 oder 25 Millionen, für die es einen Weg gibt, die Berechnung drastisch zu vereinfachen.
Viele Ressourcen zur Vorbereitung auf Case-Interviews enthalten Beispielrechnungen, denen Du in einem tatsächlichen Case-Interview höchstwahrscheinlich nicht begegnen wirst, z. B. die Multiplikation mit einer Zahl wie 23.487, die fünf signifikante Ziffern hat und bei der es keine eindeutige Möglichkeit gibt, die Berechnung zu vereinfachen. Das Üben von quantitativen Problemen, die nicht repräsentativ für tatsächliche Case-Zahlen von Case Kalkulationen sind, ist keine effektive Art der Vorbereitung, da Du nicht für das übst, womit Du in einem Case-Interview tatsächlich konfrontiert wirst. Wenn die Übungsaufgaben Zahlen mit vielen signifikanten Ziffern enthalten, ist das zu viel des Guten, denn Du übst nur das brutale mechanische Rechnen und nicht die logischen Problemlösungsaspekte und bekommst keine Erfahrung mit dem Suchen und Finden effizienter Berechnungsmethoden.
Effektive Ressourcen zur quantitativen Vorbereitung
Dieser Artikel enthält zahlreiche Beispiele für Berechnungsmethoden sowie effiziente Lösungsmethoden für die im vorherigen Artikel genannten Beispielprobleme.
Mathematische Fähigkeiten sind bei Case-Interviews von großem Wert
Da Du bei Case-Interviews keinen Taschenrechner benutzen kannst und möglicherweise eine große Anzahl von Rechenoperationen ausführen musst, ist es dabei sehr hilfreich, wenn Du in der Lage bist, Berechnungen im Kopf durchzuführen (ohne dabei auf Stift und Papier angewiesen zu sein).
Betrachte das folgende Beispiel, bei dem Du Preis, Menge und Gewinnspanne für drei verschiedene Produkte erhältst und den prozentualen Anteil der einzelnen Produkte am Gesamtumsatz und -gewinn des Unternehmens berechnen sollst:
Nehmen wir an, Dein Ansatz zur Beantwortung dieser Frage besteht darin, zunächst den Umsatz und den Gewinn für jedes Produkt zu berechnen. Wenn Du diese Operationen gedanklich durchführen kannst (und die Antworten aufschreibst), anstatt alle Multiplikationsrechnungen mit der Hand auszuführen, hast Du einen großen Vorteil bei der Rechengeschwindigkeit. Die Multiplikation mit der Hand bezieht sich auf eine Multiplikationsrechnung 7 × 25, wie unten gezeigt:
Wenn Du jede Multiplikation der obigen Aufgabe mit der Schreibmaschine ausführen willst, musst Du zunächst die Multiplikationsterme aus der Tabelle auf Stift und Papier kopieren und dann die Berechnung durchführen. Die Berechnung des Umsatzes und des Gewinns für jedes Produkt erfordern einige Multiplikationen. Eine Person, die jede Multiplikation mit der Hand ausführen muss, wird viel langsamer sein als eine Person, die die Berechnungen im Kopf durchführen kann. Es ist viel schneller und effizienter, wenn man jede Berechnung einfach im Kopf durchführt (ohne die ursprünglichen Zahlen in Langschrift auszuschreiben) und dann das Ergebnis aufschreibt. Der Geschwindigkeitsvorteil des Kopfrechnens wird noch größer, wenn Du mehrere Zahlen miteinander multiplizieren musst, um einen Wert zu berechnen.
Zum Beispiel: Gewinn = (Preis) × (Menge) × (Gewinnspanne)
Bei gedanklichen Berechnungen ist es sehr hilfreich, sich die Zahlen, mit denen Du rechnest, "gedanklich vorzustellen", d. h. an eine oder mehrere bestimmte Zahlen zu "denken". Nachdem Du eine Berechnung im Kopf durchgeführt hast, solltest Du das Ergebnis immer aufschreiben, damit Du es nicht vergisst.
Methoden der Addition und Subtraktion
Da die Case-Zahlen nur wenige signifikante Ziffern haben - und oft die nachgestellten signifikanten Ziffern "5", "25" oder "75" - ist die Durchführung von Addition und Subtraktion mit Case Zahlen für die meisten Menschen relativ einfach. Du solltest das Addieren und Subtrahieren von Zahlen novhmal üben, wenn Du Dich nicht sicher fühlst.
Beispiel: Addiere die folgenden Zahlen: 250 Millionen, 300 Millionen und 150 Millionen.
Methoden zum Addieren großer Zahlen:
Eine hilfreiche Methode für das Addieren großer Zahlen ist das Rechnen mit Einheiten wie Tausend (K), Million (M), Milliarde (B) und Billion (T):
Einheiten
K: Tausend
M: Millionen
B: Milliarden
T: Billionen
Wenn Du große Zahlen addierst, schreibst Du nicht alle Nullen auf (oder stellst sie Dir gedanklich vor), sondern schreibst (oder stellst Dir gedanklich vor) nur die führenden Ziffern und eine Abkürzung für die Einheit. Um z. B. "250 Millionen" darzustellen - was in der Langform als "250.000.000" geschrieben werden würde - schreibe "250 M", oder merke Dir die Einheit und führe die Berechnungen durch. Wenn Du das Ergebnis aufschreibst, gib die entsprechende Einheit an.
Wenn Du in Case-Interviews ausgedruckte Blätter mit Zahlenwerten oder Zahlentabellen erhältst, enthält der Ausdruck in der Regel nicht alle Nullen für eine Zahl wie 25 Millionen; es wird eine Einheit wie "Millionen" verwendet oder die Tabelle gibt die Werte in "Millionen" an, ohne alle Nullen auszuschreiben.
Mit diesen Einheiten wird das vorherige Beispiel zu:
Das Ergebnis ist 700 Millionen.
Methoden der Multiplikation
Die Multiplikation ist die wichtigste Rechenfertigkeit, die Du für Case-Interviews üben solltest, denn Du wirst häufig zahlreiche Multiplikationsoperationen durchführen müssen - manchmal mit drei oder mehr Terme. Du kannst Dein Tempo und Deine Effizienz bei der Multiplikation verbessern und gleichzeitig Fehler reduzieren, indem Du ein paar effiziente Rechenmethoden lernst und übst. Im Folgenden findest Du einige Beispiele für die Anwendung effizienter Rechenmethoden bei Case-Interview Multiplikationsrechnungen.
Beispiel: Berechne 160 × 350 M
Diese Berechnung mit allen Nullen handschriftlich aufzuschreiben, ist ein langsamer, fehleranfälliger Prozess, da viele Menschen bei der Anzahl der Nullen einen Fehler machen. Es ist auch schwierig, diese Berechnung gedanklich durchzuführen und dabei alle Nullen im Auge zu behalten. Häufig wird bei einer gedanklichen Berechnung ein ähnlicher Fehler in Bezug auf die Anzahl der Nullen gemacht, was dazu führt, dass die Antwort um einen Faktor 10 oder mehr abweicht. Dies ist eindeutig ein ausschlaggebender Fehler, den man bei einem Vorstellungsgespräch machen kann.
FastMath-Lösungsmethode
Die FastMath-Lösungsmethode unterscheidet sich von der Vorgehensweise der meisten. Die einzelnen Schritte sind jedoch sehr simpel.
Schritt 1: Was ist 160 ÷ 2?
Antwort: 160 ÷ 2 = 80
Schritt 2: Wie viel ist 350 × 2
Antwort: 350 × 2 = 700
Schritt 3: Wie viel ist 80 × 700?
Antwort: 80 × 700 = 56,000
Rate mal! Das ist die gleiche Antwort wie 160 × 350 - Du kannst es mit einem Taschenrechner überprüfen!
Aufzählungsoperator für Multiplikation
Um die Lesbarkeit von Gleichungen zu verbessern, können wir das Aufzählungszeichen (auch "Punkt" genannt) "⋅" verwenden, um die Multiplikation anzuzeigen. Die Gleichung (20 × 4 = 80) könnte also mit dem Punktsymbol als (20 ⋅ 4 = 80) geschrieben werden. Dies kann die Lesbarkeit von Gleichungen verbessern, bei denen Du die Anzahl der Terme multiplizierst, da das Punkt-Symbol kleiner ist als das Kreuz-Symbol "×" und somit die Variablennamen und Zahlen leichter zu lesen sind.
Beispiel: Berechne 125 ⋅ 2,5 ⋅ 4
Eine weitere nützliche Methode für die Multiplikation von Zahlen besteht darin, die Multiplikationsoperationen in eine andere Reihenfolge zu bringen, die leichter zu berechnen ist. Wir können diese Zahlen in dieser Reihenfolge multiplizieren:
125 ⋅ 4 = 500
500 ⋅ 2.5 = 1.250
Die Antwort ist 1.250.
Wir nennen dies die "Umordnungs"-Methode und nutzen die mathematische Eigenschaft, dass es bei der Multiplikation einer Reihe von Zahlen keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge Du die Terme multiplizierst. Es gibt viele Möglichkeiten, wie Du die Multiplikationsterme neu anordnen kannst, und Du kannst die Reihenfolge wählen, die für die jeweiligen Zahlen am einfachsten ist. Es kann mehrere effiziente und effektive Möglichkeiten geben, Multiplikationsterme umzuordnen. Wir könnten dies auch wie folgt berechnen:
2.5 ⋅ 4 = 10
125 ⋅ 10 = 1.250
Die meisten Menschen finden, dass diese neuen Reihenfolgen viel einfacher auszuführen sind als die Multiplikation des ersten Zahlenpaares in der ursprünglichen Berechnung (125 ⋅ 2,5).
Divisionsmethoden
Bei einigen Case-Berechnungen ist eine Division erforderlich und häufig musst Du das Ergebnis als Prozentsatz ausdrücken. In der Regel gibt es eine Möglichkeit, die Division der Case Kalkulation zu vereinfachen, sodass Du häufig nicht die lange Division verwenden musst. Die Kandidaten sollten dennoch mit der Methode der langen Division vertraut und darauf vorbereitet sein, sie anzuwenden, wenn sie keine Vereinfachungsmethode finden können. Außerdem können die Kandidaten auf einige Case Kalkulationen stoßen, bei denen die traditionelle lange Division angemessen ist.
Im Folgenden findest Du einige Beispiele für die Anwendung effizienter Berechnungsmethoden bei Case-Berechnungen.
Beispiel: Berechne 42 Milliarden ÷ 500
Die Berechnung mit Hilfe der langen Division und dem Ausschreiben aller Nullen ist ein langsamer, fehleranfälliger Prozess. Außerdem ist es wegen der vielen Nullen schwierig, diese Berechnung rein gedanklich durchzuführen:
- Zunächst schreiben wir 42 Milliarden in unseren Einheiten, was 42 B ergibt.
- Zweitens, wir behandeln 500 als: (500 = ½ ⋅ 1,000 = ½ ⋅ K)
- Dann rechnen wir mit dieser "Zerlegung" von 500, das heißt 42 B ÷ K = 42 M (da B ÷ K = M)
- Als nächstes müssen wir durch ½ teilen, was dasselbe ist wie die Multiplikation mit 2, was gleich 42 M ⋅ 2 = 84 M ist
Die Antwort lautet demnach 84 Millionen.
Um durch 1.000 (K) zu dividieren, machen wir einfach die Umkehrung der Multiplikation mit 1.000 (K) und verringern die Größe der Einheit. Daraus folgt: (B ÷ K = M). Diese Operationen können in beliebiger Reihenfolge durchgeführt werden, d. h. zuerst wird mit 2 multipliziert und dann durch K dividiert.
Multiplizieren und Dividieren mit "sauberen" Zahlen
Viele der Case-Zahlen, die bei Multiplikations- und/oder Divisionsberechnungen in Case-Interviews verwendet werden, haben besondere Eigenschaften und werden als "saubere Zahlen" bezeichnet, d. h. als "sauberer Bruch" mal einer ganzzahligen Potenz von 10. In diesem Zusammenhang bedeutet ein "reiner Bruch", dass sowohl der Zähler als auch der Nenner (wir nennen die "Elemente" des Bruchs) ganze Zahlen sind, die von Null verschieden und jeweils kleiner als 10 - oft auch kleiner als 5.
Die Zahl 25 kann zum Beispiel als ¼ ⋅ 100 dargestellt werden; 25 ist also eine "saubere" Zahl, da die Elemente des Bruchs "1" und "4" sind, die beide kleiner als 5 sind. Nachfolgend findest Du einige Beispiele dafür, wie man bestimmte Zahlen als reine Brüche mal einer ganzzahligen Potenz von 10 ausdrücken kann, um zu zeigen, dass sie reine Zahlen sind:
Ein paar Dinge sind bei reinen Zahlen zu beachten:
- Der Zähler kann größer als 1 sein, wie bei 75 = ¾ ⋅ 100 gezeigt
- Der Zähler kann größer sein als der Nenner, wie bei 150 gezeigt
- Der ganzzahlige Exponent von 10 kann positiv oder negativ sein, wie z. B. 0,05, der einen negativen Exponenten von 10 hat
- Du kannst Prozentsätze als reine Brüche darstellen, wie in 2,5 % gezeigt
- 33 % und 67 % sind ungefähr gleich ⅓ bzw. ⅔ (das Symbol "≈" bedeutet "ungefähr gleich". Bei diesen Brüchen handelt es sich eigentlich um sich wiederholende Dezimalzahlen, aber in Case-Interviews kannst Du diese Prozentwerte oft auf diese sauberen Brüche runden
Es gibt bestimmte effiziente Berechnungsmethoden, die Du erlernen und anwenden kannst, um das Multiplizieren und Dividieren mit Clean Numbers viel einfacher zu machen als mit herkömmlichen Berechnungsmethoden. Das Schlüsselkonzept dieser effizienten Berechnungsmethoden besteht darin, saubere Zahlen zu identifizieren und mit ihnen zu multiplizieren/dividieren, wobei sie als sauberer Bruch mal einer Potenz von 10 ausgedrückt werden. Denken Sie daran, dass bei der Multiplikation zweier Zahlen nur eine Zahl eine reine Zahl sein muss, um diese effizienten Berechnungsmethoden anzuwenden. Bei dem Beispiel 250 ⋅ 120 M ist nur 250 eine reine Zahl.
Methoden für prozentuales Wachstum
Beispiel: Ein Unternehmen hatte im vergangenen Kalenderjahr einen Jahresumsatz von 400 Millionen Dollar und es wird ein jährliches Wachstum von 4 % prognostiziert. Wie hoch werden die Einnahmen des Unternehmens in sechs Jahren ungefähr sein?
Die effizienteste Art, sich der Antwort anzunähern, besteht darin, den Zinseszinseffekt zu ignorieren, was wir als "Nicht-Aufzinsungsapproximation" bezeichnen. Da die Einnahmen um 4 % pro Jahr wachsen, würden die Gesamteinnahmen sechs Jahre lang um (4 % ⋅ 6 = 24 %) wachsen, wenn wir die Aufzinsung ignorieren. Da die Aufzinsung zu einem etwas höheren Wachstum beiträgt, ist es angemessen, das Gesamtwachstum auf 25% zu runden, was ¼ entspricht. Da die ursprünglichen Einnahmen 400 Mio. $ betragen, beträgt die Nettoänderung der Einnahmen 25 % ⋅ 400 Mio. $ = 100 Mio. $. Die Einnahmen in sechs Jahren betragen also 500 Mio. $ = (400 Mio. $ + 100 Mio. $).
Es ist angemessen, die Aufzinsung zu ignorieren, wenn die prozentuale Veränderung und die Anzahl der Jahre des Wachstums relativ gering sind. Der FastMath Ace the Case Online-Kurs erklärt im Detail, wann Du die Annäherung ohne Zinseszins verwenden kannst und bietet zusätzliche Methoden zur Durchführung von Berechnungen des prozentualen Wachstums, wenn diese Annäherung nicht sinnvoll ist.
Methoden des Kapitalwerts (Net Present Value, kurz NPV)
NPV-Beispiel 1: Wie viel wäre Dein Unternehmen bereit, für ein anderes Unternehmen zu zahlen, das jährlich 20 Millionen Dollar Gewinn erwirtschaftet, wenn Dein Unternehmen eine jährliche Kapitalrendite von 10 % verlangt?
Es gibt eine Formel zur Bestimmung des Kapitalwertes für eine ewige Rente, d. h. eine feste, jährlich wiederkehrende Zahlung ($C), für eine bestimmte erforderliche jährliche Rendite oder einen bestimmten Zinssatz (r), die wie folgt lautet
Vorausgesetzt, dass r =10% ist
Daher ist der Kapitalwert = 10 ⋅ $C = 10 ⋅ $20 M = $200 M.
Dein Unternehmen wäre also bereit, bis zu 200 Mio. $ für den Erwerb dieses Unternehmens zu zahlen.
NPV Beispiel 2: Ein Immobilienentwicklungsunternehmen prüft ein Projekt, das den Kauf eines Grundstücks und den Bau von Eigentumswohnungen auf diesem Grundstück vorsieht. Das Unternehmen geht davon aus, dass es die Eigentumswohnungen sechs Jahre in der Zukunft für insgesamt 250 Mio. $ verkaufen kann.
Wie viel wäre die Immobiliengesellschaft maximal bereit, jetzt für den Kauf des Grundstücks und den Bau der Eigentumswohnungen auszugeben, wenn alle Kosten für das Projekt heute anfallen würden und sie eine jährliche Rendite von 12 % auf das investierte Kapital verlangt?
Diese Kapitalwertberechnung ist schwieriger als die vorherige, da es sich nicht um eine ewige Rente handelt und wir den Kapitalwert einer Zahlung von 250 Mio. $ in sechs Jahren bestimmen müssen. Es gibt ein Konzept, das als die Regel von 72 bezeichnet wird und besagt, dass sich etwas, das jährlich um 12 % wächst, in ca. sechs Jahren verdoppelt, da: (6 ⋅ 12 = 72). Im Allgemeinen wird die Verdopplungszeit für eine Menge ungefähr 72 geteilt durch die prozentuale Wachstumsrate (ausgedrückt als ganze Zahl) betragen - in diesem Beispiel 72 ÷ 12 = 6. Dieser Näherungswert ist für ein prozentuales Wachstum im Bereich von 0 % bis 20 % genau.
Daher ist der Kapitalwert einer Zahlung von 250 Mio. $ in sechs Jahren bei einer geforderten Rendite von 12 % genau die Hälfte des künftigen Zahlungswertes von 250 Mio. $, also 125 Mio. $.
